La palabra matemáticas viene del griego máthëma que significa aprendizaje y son actualmente una ciencia formal, al igual que muchas otras ramas del saber del ser humano.
La ciencia de las matemáticas en concreto se encarga de estudiar operaciones con números, formas en el espacio y el azar, entre otras cosas. La matemática también es considerada como una ciencia madre que fundamenta el desarrollo en otras áreas como la física, la biología y la ingeniería.
| Matemática | |
| Números | De su estudio se encarga la aritmética y la álgebra |
| Formas | De su estudio se encarga la geometría descriptiva |
| Tamaños | De su estudio se encarga la geometría métrica |
Explorando las Diversas Ramas de la Matemática: Un Viaje Completo
1. Introducción a las Ramas de la Matemática
- ¿Qué es la Matemática?
Las matemáticas, o también la matemática son una ciencia formal que surgió del estudio de las figuras geométricas y la aritmética con números. Hoy en día se suele aceptar que la matemática es una ciencia que investiga patrones.
- Importancia de las Ramas Específicas
El campo de estudio de la matemática fue modificándose con el tiempo: hasta el siglo XIX se limitaba al estudio de las cantidades y de los espacios, pero con los avances científicos fueron apareciendo campos de la matemática que excedían esos dos, lo que exigió su redefinición.
La matemática tiene mucha relación con otras ciencias. En primer lugar, se apoya principalmente en la lógica y en sus estrategias para la demostración y la inferencia. Es por esto que la matemática es una ciencia objetiva: solo podrá ser modificada al demostrarse la existencia de errores matemáticos, para lo cual seguramente deberá modificarse gran parte del paradigma científico con el que se trabaja.
2. Aritmética
- Definición y Conceptos Básicos
La aritmética es la rama de las matemáticas que estudia los números y las operaciones básicas que se pueden efectuar entre ellos. Entre estas, destacan la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Se fue desarrollando con el tiempo para ampliar su campo de estudio con otras operaciones como la potenciación o la raíz cuadrada. Asimismo, pasó a operar no solo con números enteros, sino también con aquellas que tienen decimales, números negativos y, en general, números naturales.
- Operaciones Fundamentales
La rama más fundamental de las matemáticas son las operaciones aritméticas. Consisten en sumar, restar, multiplicar y dividir números. Estamos seguros de que estas operaciones son pan comido con números naturales, pero ahora vamos a mezclar esos números con decimales y fracciones.
3. Álgebra
- Principios Algebraicos
Los principios del álgebra también incluyen las propiedades de las operaciones matemáticas, como la suma, resta, multiplicación y división, que se utilizan para manipular y simplificar expresiones algebraicas.
- Ecuaciones y Desigualdades
Una ecuación es una igualdad algebraica en la cual aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido. El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. Solucionar una ecuación es determinar el valor o valores de las incógnitas que transformen la ecuación en una identidad.
4. Geometría
- Fundamentos Geométricos
Punto, línea y plano son los elementos geométricos básicos con los que podemos dibujar todas las figuras geométricas. Se denominan propios si pertenecen a un espacio finito e impropios si están en el infinito.
Los límites de un cuerpo son las superficies, de las superficies las líneas y de las líneas los puntos. Los planos tienen dos dimensiones, una sola dimensión las líneas y ninguna dimensión los puntos, que únicamente determinan un lugar.
- Figuras y Propiedades
Las figuras geométricas básicas incluyen las figuras planas simples como el triángulo, el cuadrado, el rectángulo, el círculo y el rombo, así como las figuras sólidas simples como el cubo, el cilindro, la esfera y el cono.
5. Trigonometría
- Funciones Trigonométricas
En matemática, las funciones trigonométricas son las funciones determinadas con el objetivo de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.
- Aplicaciones en la Vida Diaria
La trigonometría a aportado mucho en nuestra sociedad como por ejemplo la construcción de casas o edificaciones las diferentes medidas que se deben hacer. la trigonometría es de mucha utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo preciso de distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera, etc.
6. Cálculo Diferencial
- Conceptos Básico
Es importante desarrollar métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar esos cambios. Justamente esto es el propósito del Cálculo Diferencial, que es la mate- . mática de los cambios.
- Derivadas y Aplicaciones
En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente.
7. Cálculo Integral
- Integrales Definidas e Indefinidas
En concordancia con el teorema fundamental del cálculo la integral definida de la función f(x) se obtiene con la expresión ∫baf(x)dx=F(x)]ba=F(b)−F(a), en la cual, a y b son los límites de integración inferior y superior, respectivamente. En consecuencia, la integral definida resulta ser un número, mientras que la integral indefinida ∫f(x)dx=F(x)+C, resulta ser una familia de funciones. Es importante señalar que el teorema mencionado relaciona a la integral definida con la integral indefinida, puesto que en ambas la función F(x)
- Teorema Fundamental del Cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.
8. Teoría de Números
- Números Primos y Factorización
Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1, es decir, que si intentamos dividirlos por cualquier otro número, el resultado no es entero. Dicho de otra forma, si haces la división por cualquier número que no sea 1 o él mismo, se obtiene un resto distinto de cero.
- Congruencias
La teoría de la congruencia se refiere a la relación entre dos números en términos de módulos.
9. Combinatoria
- Permutaciones y Combinaciones
En la permutación, la disposición implica elementos que están dispuestos en orden. Esto significa que la posición de los elementos es muy importante. Pero en la combinación, la selección de elementos no tiene orden. Por lo tanto, el orden no es relevante en la combinación.
- Principio de Inclusión-Exclusión
El principio de inclusión-exclusión, permite calcular el cardinal de la unión de varios conjuntos, mediante los cardinales de cada uno de ellos y todas sus posibles intersecciones.
10. Estadística y Probabilidad
- Conceptos Fundamentales
La probabilidad establece relaciones matemáticas que nos ayudan a saber cuándo un evento podría pasar o qué tan probable es que un evento suceda; la estadística, por su parte, estudia los resultados de esos eventos para ofrecer conclusiones acerca de los eventos que los generan.
- Distribuciones de Probabilidad
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable, la probabilidad de que dicho suceso ocurra.
11. Matemática Discreta
- Lógica Matemática
Es el área de las matemáticas que se ocupa del estudio de estructuras formadas por un número finito de elementos o a lo más un número infinito numerable, es decir que se puede poner en correspondencia biunívoca con los números enteros.
- Grafos y Árboles
Un árbol es un tipo de grafo cuyos vértices están conectados exactamente por un camino, es decir, de un nodo a otro solo podemos llegar de una manera. Su curiosa forma, que recuerda a un árbol, también nos da otra nomenclatura.
12. Geometría Analítica
- Coordenadas y Transformaciones
Las coordenadas son las líneas que sirven para determinar la posición de un punto, y los ejes o planos a que se refieren aquellas líneas.
- Ecuaciones de las Curvas
Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.
13. Topología
- Conceptos Básicos
La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.
- Espacios Topológicos
Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad y vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado. La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos se llama topología.
14. Álgebra Lineal
- Vectores y Matrices
El álgebra lineal estudia espacios vectoriales más generales que simplemente. , hay muchos objetos matemáticos en los que se puede definir una suma y un producto escalar. Algunos ejemplos son los polinomios, ciertas familias de funciones y sucesiones.
- Transformaciones Lineales
En matemáticas una aplicación lineal, es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.
15. Ecuaciones Diferenciales
- Tipos de Ecuaciones
Las ecuaciones algebraicas son aquellas formadas por polinomios. Es decir, por expresiones algebraicas donde participan letras y números que están sumándose, restándose, multiplicándose, dividiéndose, e incluso elevándose a alguna potencia.
- Métodos de Solución
Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son procedimientos utilizados para encontrar aproximaciones numéricas a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias . Su uso también se conoce como integración numérica, aunque este término a veces se toma para significar el cálculo de una integración.
16. Geometría Diferencial
- Curvas y Superficies
En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el espacio euclídeo.
17. Teoría de Conjuntos
- Principios Fundamentales
Hasta el siglo XIX se utilizaban los conjuntos, sin sentir la necesidad de reflexionar o fundamentar matemáticamente. Debido una mayor utilización y generalización de los conjuntos en todas las ramas, a principios del siglo XIX empezaron a surgir las dificultades y las paradojas. En la actualidad, se utiliza la teoría de conjuntos creada por el matemático ruso George Cantor, esta teoría constituye la base de las matemáticas modernas.
- Operaciones de Conjuntos
Existen operaciones que se pueden utilizar para el manejo de los conjuntos o eventos, las cuales son: unión, intersección, diferencia o complemento. Las operaciones se refieren a si los eventos pertenecen a un cierto evento compuesto.
18. Teoría de Grafos
- Estructura de Grafos
Los grafos son estructuras de datos, es decir, tipos de datos abstractos, comúnmente los grafos son utilizados para el modelado de problemas. Un grafo es un conjunto no vacıo de objetos o entes fısicos que tienen relación entre ellos.
- Algoritmos de Grafos
Los algoritmos de grafos son un conjunto de instrucciones que recorren un grafo. Algunos algoritmos son usados para hallar un nodo específico o el camino entre dos nodos dados.
19. Teoría de Juegos
- Estrategias y Resultados
En teoría de juegos, la estrategia de un jugador es un plan de acción completo para cualquier situación que pueda acaecer; determina completamente la conducta del jugador y establece la acción que este llevará a cabo en cualquier momento del juego, para cualquier secuencia de acontecimientos hasta ese punto.
- Juegos Cooperativos y No Cooperativos
Existen diferentes tipos de juegos: Cooperativos (jugadores toman decisiones para el beneficio conjunto) o no coopera- tivos (jugadores toman decisiones independientemente para su beneficio personal). De suma cero (las ganancias de un jugador se equilibran con las pérdidas del otro) o suma distinta de cero.
20. Matemática Aplicada
- Aplicaciones en Ciencia e Ingeniería
El estudio de matemáticas permite a los ingenieros desarrollar capacidades como: identificar, interpretar, representar y modelar problemas planteados en la industria, con el objetivo de mejorar los procesos inherentes a estas.
- Modelado Matemático
Las matemáticas son el lenguaje de las ciencias y la ingeniería. Utilizando este lenguaje, el modelado matemático busca explicar el comportamiento del mundo a nuestro alrededor. Éste es en general complejo, y un modelo es, por definición, una simplificación del sistema o fenómeno que aspira a describir.
21. Matemáticas Computacionales
- Algoritmos Matemáticos
Por algoritmo matemático entendemos un conjunto de operaciones ordenadas que sirven para encontrar la solución de un problema, es decir, es una serie de instrucciones que se siguen para obtener un resultado final.
22. Teoría de la Información
- Entropía y Codificación
Establece que tanto emisor como receptor deben ser capaces de codificar y decodificar los mensajes. Analiza la velocidad con la que se transmiten los mensajes. Considera que un mensaje tiene múltiples sentidos, de manera que el destinatario lo dota de significado, siempre y cuando guarde el mismo código que el emisor.
- Compresión de Datos
En ciencias de la computación, la compresión de datos es la reducción del volumen de datos tratables para representar una determinada información empleando una menor cantidad de espacio. Al acto de compresión de datos se denomina «compresión», y al contrario «descompresión».
23. Matemáticas Financieras
- Interés Compuesto
El interés compuesto en contabilidad y finanzas, es el interés de un capital al que se van acumulando sus créditos o intereses para que produzcan otros. El interés compuesto permite la capitalización de intereses periódicamente -día a día, mes a mes, etc.
- Valor Presente y Futuro
El Valor Presente es la cantidad o dinero que se debe invertir para que se obtenga determinado importe, en cierto tiempo con una tasa de interés determinada. Valor Futuro o Monto, es el Resultado de la suma del capital mas los intereses.